태그: 수학

선형대수학 - Linear Algebra # 정의 # 선형대수학(Linear Algebra)은 벡터 공간과 그 위에서 정의되는 선형 변환을 연구하는 수학의 한 분야이다. 행렬과 벡터를 다루는 수학으로, 연립일차방정식의 해법에서 출발하여 현대에는 데이터과학, 기계학습, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야의 핵심 도구로 활용된다. 기본 개념 # 벡터 (Vector) # 벡터는 크기와 방향을 가진 양으로, n개의 숫자를 순서대로 나열한 것이다. $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$ 영벡터: 모든 성분이 0인 벡터 단위벡터: 크기가 1인 벡터 벡터의 내적: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$ 벡터의 노름(크기): $|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$ 행렬 (Matrix) # 행렬은 숫자를 직사각형 형태로 배열한 것으로, m개의 행과 n개의 열로 구성된다.

페르마의 마지막 정리 - Fermat’s Last Theorem # 정리의 내용 # 페르마의 마지막 정리(Fermat’s Last Theorem)는 정수론의 가장 유명한 정리 중 하나로, 다음과 같이 표현된다: 3 이상의 자연수 n에 대하여, 다음 방정식을 만족하는 양의 정수 a, b, c는 존재하지 않는다: $$a^n + b^n = c^n$$ 즉, 3제곱 이상의 거듭제곱의 합으로는 같은 차수의 거듭제곱을 만들 수 없다는 것이다. 역사적 배경 # 이 정리는 1637년 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 디오판토스의 『산술』 여백에 다음과 같은 메모를 남긴 것에서 시작되었다:

상미분방정식 - Ordinary Differential Equation # 정의 # 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)은 미지함수와 그 함수의 1계 또는 고계 도함수들이 포함된 방정식이다. 하나의 독립변수에 대한 함수와 그 도함수들로만 구성되어 있어 편미분방정식(PDE)과 구별된다. 기본 형태 # 함수 y(x)가 있을 때, 다음과 같은 형태들이 상미분방정식의 예시이다: 1계 상미분방정식: $$\frac{dy}{dx} = \cos x$$ 2계 상미분방정식: $$\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = e^{-2x}$$ 3계 상미분방정식: $$y' \cdot y''' - \frac{3}{2}(y')^2 = 0$$ 상미분방정식과 편미분방정식의 구분 # 상미분방정식(ODE): 하나의 독립변수를 가진 함수의 도함수를 포함 예: $y = f(x)$에서 $x$만이 독립변수 편미분방정식(PDE): 두 개 이상의 독립변수를 가진 함수의 편미분을 포함 예: $z = f(x, y)$에서 $x, y$ 모두 독립변수 계수(Order)에 따른 분류 # 상미분방정식에서 나타나는 가장 높은 계수의 도함수에 따라 분류된다: