브라운 운동 - Brownian Motion #
브라운 운동은 미시적인 입자가 액체나 기체와 같은 유체 내에서 무작위로 움직이는 현상이다. 1827년 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)이 꽃가루 입자가 물속에서 불규칙하게 움직이는 것을 관찰하면서 처음 보고되었다. 이 현상은 분자들의 열적 운동에 의해 입자가 충돌을 반복하면서 발생한다.
수식적 정의 #
브라운 운동은 확률과정의 한 예로, 수학적으로는 다음과 같은 성질을 만족하는 연속 확률과정 \( \{B_t\}_{t \geq 0} \)로 정의된다.
- \( B_0 = 0 \)이다.
- 임의의 \( 0 \leq s < t \)에 대해, \( B_t - B_s \)는 평균 0, 분산 \( t-s \)를 갖는 정규분포를 따른다:
\( B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s) \)이다. - 독립적인 증가분(independent increments)을 가진다.
- 연속 경로(continuous paths)를 가진다.
수식으로는 다음과 같이 표현된다.
$$ B_t = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} X_k \sqrt{\frac{t}{n}} $$여기서 \( X_k \)는 서로 독립인 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.
시각적 예시 #
브라운 운동의 경로는 아래와 같이 불규칙하게 진동하는 곡선으로 시뮬레이션할 수 있다.
(여기에 matplotlib 등으로 생성한 브라운 운동 경로 예시 이미지를 첨부할 수 있다)
응용 분야 #
- 금융공학: 주가의 무작위 변동 모델(예: 기하 브라운 운동)에 사용된다.
- 물리학: 입자의 확산, 열운동 해석에 활용된다.
- 생물학: 세포 내 분자 이동 등 다양한 분야에 적용된다.
역사 #
브라운 운동은 1905년 아인슈타인이 이 현상을 이론적으로 설명하면서, 분자의 존재와 열운동을 실증적으로 뒷받침하는 중요한 역할을 하였다. 이후 노버트 위너(Norbert Wiener)가 수학적으로 엄밀하게 정의하여 위너 과정(Wiener process)라고도 불린다.