네이만 배분법 - neyman allocation #
네이만 배분법은 비용이 일정할 때 층화추출에서 각 층별 표본크기를 결정하는 방법이다. 모집단을 여러 층으로 나누었을 때, 각 층의 표준편차와 크기를 고려하여 최적의 표본 크기를 배분한다.
네이만 배분법의 원리 #
네이만 배분법에서는 다음 공식에 따라 각 층의 표본 크기를 결정한다.
$$n_h = n \cdot \frac{N_h \cdot \sigma_h}{\sum_{i=1}^{L} N_i \cdot \sigma_i}$$여기서:
- $n_h$: h번째 층의 표본 크기
- $n$: 전체 표본 크기
- $N_h$: h번째 층의 모집단 크기
- $\sigma_h$: h번째 층의 표준편차
- $L$: 층의 총 개수
네이만 배분법의 특징 #
- 각 층의 크기와 변동성을 모두 고려한다.
- 변동성($\sigma_h$)이 큰 층에서 더 많은 표본을 추출한다.
- 크기($N_h$)가 큰 층에서 더 많은 표본을 추출한다.
- 모집단의 모수에 대한 분산을 최소화하는 최적의 배분 방법이다.
네이만 배분법의 활용 #
네이만 배분법은 다음과 같은 상황에서 유용하게 활용된다:
- 각 층마다 변동성이 크게 다를 때
- 비용이 모든 층에서 동일할 때
- 전체 추정량의 분산을 최소화하고자 할 때
네이만 배분법과 비례배분법의 비교 #
비례배분법은 각 층의 크기에 비례하여 표본을 배분하는 방법인 반면, 네이만 배분법은 층의 크기와 표준편차를 모두 고려한다. 층별 표준편차가 모두 같다면 네이만 배분법은 비례배분법과 동일한 결과를 보인다.
실제 적용 예시 #
농업 조사에서 농장 규모별로 층화했을 때, 대규모 농장은 수는 적지만 생산량의 변동이 크다. 이런 경우 네이만 배분법을 적용하면 대규모 농장에서 상대적으로 더 많은 표본을 추출하게 된다.
수정절사법 #
수정절사법은 비용과 시간을 고려하여 표본 크기를 결정하는 방법이다. 네이만 배분법을 적용했을 때 너무 작은 표본이 할당되는 층이 있다면, 이를 최소 크기로 조정하고 나머지 층들의 표본 크기를 재조정한다.