분산지연모델

분산지연모델 - Distributed Lag Model #

분산지연모델(Distributed Lag Model)은 종속변수가 독립변수의 현재값뿐만 아니라 과거값들에도 영향을 받는다고 가정하는 시계열 회귀모델이다. 경제학에서 정책이나 충격의 효과가 시간에 걸쳐 점진적으로 나타나는 현상을 모델링하는 데 널리 사용된다.

분산지연모델의 기본 개념 #

경제 현상에서는 한 변수의 변화가 다른 변수에 즉시 영향을 미치기보다는 시간을 두고 점진적으로 영향을 미치는 경우가 많다. 예를 들어:

  • 통화정책의 효과: 금리 변화가 경제성장에 미치는 영향은 수개월에 걸쳐 나타남
  • 광고의 효과: 광고 지출이 매출에 미치는 영향은 여러 기간에 걸쳐 지속됨
  • 투자의 효과: 설비투자가 생산성에 미치는 영향은 장기간에 걸쳐 실현됨

분산지연모델의 수학적 표현 #

일반적인 분산지연모델은 다음과 같이 표현된다:

\[Y_t = \alpha + \beta_0 X_t + \beta_1 X_{t-1} + \beta_2 X_{t-2} + \cdots + \beta_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]

여기서:

  • \(Y_t\): 시점 \(t\)에서의 종속변수
  • \(X_t\), \(X_{t-1}\), \(\ldots\), \(X_{t-p}\): 독립변수의 현재값과 과거값들
  • \(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\ldots\), \(\beta_p\): 각 시점별 회귀계수(지연가중치)
  • \(p\): 최대 지연기간
  • \(\varepsilon_t\): 오차항

지연가중치의 해석 #

각 지연가중치 \(\beta_i\)는 다음과 같이 해석된다:

  • \(\beta_0\): 즉시효과(Impact Effect) - \(X\)의 변화가 같은 기간 \(Y\)에 미치는 즉각적 영향
  • \(\beta_i\) (\(i>0\)): 지연효과(Lag Effect) - \(X\)의 변화가 \(i\)기간 후 \(Y\)에 미치는 영향
  • \(\sum_{i=0}^{p} \beta_i\): 장기승수(Long-run Multiplier) - \(X\)의 영구적 변화가 \(Y\)에 미치는 총 효과

분산지연모델의 유형 #

1. 유한분산지연모델 (Finite Distributed Lag Model) #

지연기간이 유한한 모델로, 실제 추정에서 가장 많이 사용된다:

\[Y_t = \alpha + \sum_{i=0}^{p} \beta_i X_{t-i} + \varepsilon_t\]

장점: 해석이 명확하고 추정이 상대적으로 간단
단점: 적절한 지연기간 \(p\)를 결정하기 어려움

2. 무한분산지연모델 (Infinite Distributed Lag Model) #

지연기간이 무한한 모델:

\[Y_t = \alpha + \sum_{i=0}^{\infty} \beta_i X_{t-i} + \varepsilon_t\]

특징: 이론적으로는 완전하지만 실제 추정에는 제약이 있음

3. 기하분산지연모델 (Geometric Distributed Lag Model) #

지연가중치가 기하급수적으로 감소하는 모델:

\[\beta_i = \beta_0 \lambda^i, \quad 0 < \lambda < 1\]

이 경우 모델은 다음과 같이 변환될 수 있다:

\[Y_t = \alpha(1-\lambda) + \beta_0 X_t + \lambda Y_{t-1} + \varepsilon_t - \lambda \varepsilon_{t-1}\]

추정상의 문제점과 해결방법 #

1. 다중공선성 문제 #

지연변수들 간의 높은 상관관계로 인한 문제:

해결방법:

  • 알몬 다항식 지연모델: 지연가중치를 다항식으로 제약
  • 주성분 회귀: 지연변수들의 주성분을 사용
  • 능형회귀: 정규화를 통한 추정

2. 자유도 손실 #

많은 지연변수로 인한 자유도 감소:

해결방법:

  • 정보기준: AIC, BIC를 이용한 최적 지연기간 선택
  • 단계적 회귀: 유의하지 않은 지연변수 제거

3. 내생성 문제 #

\(Y\)의 과거값이 \(X\)의 현재값에 영향을 미치는 경우:

해결방법:

  • 도구변수법: 외생적 도구변수 사용
  • VAR 모델: 모든 변수를 내생변수로 처리

알몬 다항식 지연모델 (Almon Polynomial Distributed Lag) #

지연가중치를 \(k\)차 다항식으로 제약하는 방법:

\[\beta_i = \sum_{j=0}^{k} \gamma_j i^j\]

이를 통해 추정해야 할 모수의 수를 크게 줄일 수 있다.

장점: 모수 절약, 다중공선성 완화
단점: 다항식 차수 선택의 자의성

실증분석 예시 #

통화정책의 효과 분석 #

중앙은행의 기준금리 변화가 GDP 성장률에 미치는 영향:

\[GDP_growth_t = \alpha + \sum_{i=0}^{8} \beta_i Interest_rate_{t-i} + \varepsilon_t\]

예상 결과:

  • \(\beta_0\), \(\beta_1\): 작거나 양수 (즉시효과는 제한적)
  • \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4\): 음수 (2-4분기 후 본격적인 효과)
  • \(\beta_5\) 이후: 점진적으로 0에 수렴

광고효과 분석 #

광고비 지출이 매출에 미치는 영향:

\[Sales_t = \alpha + \sum_{i=0}^{12} \beta_i Advertising_{t-i} + \varepsilon_t\]

동적승수 (Dynamic Multipliers) #

분산지연모델에서 중요한 개념들:

1. 즉시승수 (Impact Multiplier) #

\[\frac{\partial Y_t}{\partial X_t} = \beta_0\]

2. 중간승수 (Interim Multiplier) #

\[\frac{\partial Y_{t+s}}{\partial X_t} = \beta_s\]

3. 누적승수 (Cumulative Multiplier) #

\[\sum_{i=0}^{s} \beta_i\]

4. 장기승수 (Long-run Multiplier) #

\[\sum_{i=0}^{\infty} \beta_i\]

모델 진단과 검정 #

1. 지연기간 선택 #

  • 정보기준: AIC, BIC, HQ 기준
  • F-검정: 추가 지연변수의 유의성 검정
  • 잔차분석: 자기상관 검정

2. 모델 적합도 #

  • 결정계수: \(R^2\), 수정된 \(R^2\)
  • 잔차진단: 정규성, 등분산성, 독립성 검정
  • 구조변화 검정: Chow 검정, CUSUM 검정

확장모델 #

1. 자기회귀분산지연모델 (ARDL) #

종속변수의 지연값도 포함하는 모델:

\[Y_t = \alpha + \sum_{i=1}^{p} \phi_i Y_{t-i} + \sum_{j=0}^{q} \beta_j X_{t-j} + \varepsilon_t\]

2. 벡터자기회귀모델 (VAR) #

여러 변수를 모두 내생변수로 처리:

\[\mathbf{Y}_t = \mathbf{A}0 + \sum{i=1}^{p} \mathbf{A}i \mathbf{Y}{t-i} + \mathbf{u}_t\]

실무 적용 시 고려사항 #

1. 데이터 특성 #

  • 표본 크기: 충분한 관측치 확보
  • 데이터 빈도: 월별, 분기별, 연별 데이터의 특성 고려
  • 계절성: 계절조정 여부 결정

2. 경제적 해석 #

  • 이론적 근거: 경제학적 논리와 일치하는지 확인
  • 정책적 함의: 정책 수립에 활용 가능한 시사점 도출
  • 예측 정확도: 모델의 예측 성능 평가

소프트웨어 구현 #

주요 통계 소프트웨어에서의 분산지연모델 추정:

R #

분산지연모형은 R의 dynlm 패키지 또는 lm 함수와 lag() 함수를 활용하여 쉽게 추정할 수 있습니다. 예를 들어, \(Y_t\)에 대한 \(X_t\), \(X_{t-1}\), \(X_{t-2}\)의 분산지연모형을 추정하는 기본 코드는 다음과 같습니다.

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